Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez les valeurs propres.

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Étape 1.1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique $p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$

Étape 1.2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille $3$ est la matrice carrée $3 \times 3$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.3

Remplacez les valeurs connues dans $p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $A$ par $[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] - λ I_{3})$

Étape 1.3.2

Remplacez $I_{3}$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Multipliez $- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 1.4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.4

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.4.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.4.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.6

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.6.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.6.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.7

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.7.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.7.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.8

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.8.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.8.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Étape 1.4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 5 - λ & 50 + 0 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 11 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3

Simplify each element.

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Étape 1.4.3.1

Additionnez $50$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 5 - λ & 50 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 11 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 5 - λ & 50 & 0 \\ - 1 + 0 & 11 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.3

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 5 - λ & 50 & 0 \\ - 1 & 11 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 5 - λ & 50 & 0 \\ - 1 & 11 - λ & 1 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.5

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 5 - λ & 50 & 0 \\ - 1 & 11 - λ & 1 \\ 0 & 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 5 - λ & 50 & 0 \\ - 1 & 11 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 1.5

Find the determinant.

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Étape 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 11 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(- 5 - λ) | \begin{array}{c} 11 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 11 - λ \\ 0 & 1 \end{array} |$

Étape 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 1 & 11 - λ \\ 0 & 1 \end{array} |$

Étape 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 5 - λ) | \begin{array}{c} 11 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 & 11 - λ \\ 0 & 1 \end{array} |$

Étape 1.5.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} - 1 & 11 - λ \\ 0 & 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) | \begin{array}{c} 11 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Étape 1.5.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 11 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$ .

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Étape 1.5.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) ((11 - λ) (1 - λ) - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.3.2.1.1

Développez $(11 - λ) (1 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.3.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 (1 - λ) - λ (1 - λ) - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Étape 1.5.3.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 \cdot 1 + 11 (- λ) - λ (1 - λ) - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Étape 1.5.3.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 \cdot 1 + 11 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Étape 1.5.3.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.5.3.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.3.2.1.2.1.1

Multipliez $11$ par $1$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 + 11 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Étape 1.5.3.2.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $11$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 - 11 λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Étape 1.5.3.2.1.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 - 11 λ - λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Étape 1.5.3.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 - 11 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Étape 1.5.3.2.1.2.1.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.3.2.1.2.1.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 - 11 λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Étape 1.5.3.2.1.2.1.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 - 11 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Étape 1.5.3.2.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 - 11 λ - λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Étape 1.5.3.2.1.2.1.7

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 - 11 λ - λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Étape 1.5.3.2.1.2.2

Soustrayez $λ$ de $- 11 λ$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 - 12 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Étape 1.5.3.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 - 12 λ + λ^{2} - 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Étape 1.5.3.2.2

Soustrayez $1$ de $11$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (- 12 λ + λ^{2} + 10) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Étape 1.5.3.2.3

Remettez dans l’ordre $- 12 λ$ et $λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Étape 1.5.4

Évaluez $| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$ .

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Étape 1.5.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 (- (1 - λ) + 0 \cdot 1) + 0$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 (- 1 \cdot 1 - - λ + 0 \cdot 1) + 0$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 (- 1 - - λ + 0 \cdot 1) + 0$

Étape 1.5.4.2.1.3

Multipliez $- - λ$ .

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Étape 1.5.4.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 (- 1 + 1 λ + 0 \cdot 1) + 0$

Étape 1.5.4.2.1.3.2

Multipliez $λ$ par $1$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 (- 1 + λ + 0 \cdot 1) + 0$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez $0$ par $1$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 (- 1 + λ + 0) + 0$

Étape 1.5.4.2.2

Additionnez $- 1 + λ$ et $0$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 (- 1 + λ) + 0$

Étape 1.5.4.2.3

Remettez dans l’ordre $- 1$ et $λ$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 (λ - 1) + 0$

Étape 1.5.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.5.1

Additionnez $(- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 (λ - 1)$ et $0$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 (λ - 1)$

Étape 1.5.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.5.2.1

Développez $(- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = - 5 λ^{2} - 5 (- 12 λ) - 5 \cdot 10 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

Étape 1.5.5.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.5.2.2.1

Multipliez $- 12$ par $- 5$ .

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 5 \cdot 10 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

Étape 1.5.5.2.2.2

Multipliez $- 5$ par $10$ .

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 50 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

Étape 1.5.5.2.2.3

Multipliez $λ$ par $λ^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.5.2.2.3.1

Déplacez $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 50 - (λ^{2} λ) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

Étape 1.5.5.2.2.3.2

Multipliez $λ^{2}$ par $λ$ .

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Étape 1.5.5.2.2.3.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 50 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

Étape 1.5.5.2.2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 50 - λ^{2 + 1} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

Étape 1.5.5.2.2.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 50 - λ^{3} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

Étape 1.5.5.2.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 50 - λ^{3} - 1 \cdot - 12 λ \cdot λ - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

Étape 1.5.5.2.2.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.5.2.2.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 50 - λ^{3} - 1 \cdot - 12 (λ \cdot λ) - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

Étape 1.5.5.2.2.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 50 - λ^{3} - 1 \cdot - 12 λ^{2} - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

Étape 1.5.5.2.2.6

Multipliez $- 1$ par $- 12$ .

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 50 - λ^{3} + 12 λ^{2} - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

Étape 1.5.5.2.2.7

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 50 - λ^{3} + 12 λ^{2} - 10 λ - 50 (λ - 1)$

Étape 1.5.5.2.3

Additionnez $- 5 λ^{2}$ et $12 λ^{2}$ .

$p (λ) = 7 λ^{2} + 60 λ - 50 - λ^{3} - 10 λ - 50 (λ - 1)$

Étape 1.5.5.2.4

Soustrayez $10 λ$ de $60 λ$ .

$p (λ) = 7 λ^{2} + 50 λ - 50 - λ^{3} - 50 (λ - 1)$

Étape 1.5.5.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 7 λ^{2} + 50 λ - 50 - λ^{3} - 50 λ - 50 \cdot - 1$

Étape 1.5.5.2.6

Multipliez $- 50$ par $- 1$ .

$p (λ) = 7 λ^{2} + 50 λ - 50 - λ^{3} - 50 λ + 50$

Étape 1.5.5.3

Associez les termes opposés dans $7 λ^{2} + 50 λ - 50 - λ^{3} - 50 λ + 50$ .

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Étape 1.5.5.3.1

Soustrayez $50 λ$ de $50 λ$ .

$p (λ) = 7 λ^{2} - 50 - λ^{3} + 0 + 50$

Étape 1.5.5.3.2

Additionnez $7 λ^{2} - 50 - λ^{3}$ et $0$ .

$p (λ) = 7 λ^{2} - 50 - λ^{3} + 50$

Étape 1.5.5.3.3

Additionnez $- 50$ et $50$ .

$p (λ) = 7 λ^{2} - λ^{3} + 0$

Étape 1.5.5.3.4

Additionnez $7 λ^{2} - λ^{3}$ et $0$ .

$p (λ) = 7 λ^{2} - λ^{3}$

Étape 1.5.5.4

Remettez dans l’ordre $7 λ^{2}$ et $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 7 λ^{2}$

Étape 1.6

Définissez le polynôme caractéristique égal à $0$ pour déterminer les valeurs propres $λ$ .

$- λ^{3} + 7 λ^{2} = 0$

Étape 1.7

Résolvez $λ$ .

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Étape 1.7.1

Factorisez $- λ^{2}$ à partir de $- λ^{3} + 7 λ^{2}$ .

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Étape 1.7.1.1

Factorisez $- λ^{2}$ à partir de $- λ^{3}$ .

$- λ^{2} λ + 7 λ^{2} = 0$

Étape 1.7.1.2

Factorisez $- λ^{2}$ à partir de $7 λ^{2}$ .

$- λ^{2} λ - λ^{2} \cdot - 7 = 0$

Étape 1.7.1.3

Factorisez $- λ^{2}$ à partir de $- λ^{2} (λ) - λ^{2} (- 7)$ .

$- λ^{2} (λ - 7) = 0$

Étape 1.7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$λ^{2} = 0$

$λ - 7 = 0$

Étape 1.7.3

Définissez $λ^{2}$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

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Étape 1.7.3.1

Définissez $λ^{2}$ égal à $0$ .

$λ^{2} = 0$

Étape 1.7.3.2

Résolvez $λ^{2} = 0$ pour $λ$ .

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Étape 1.7.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{0}$

Étape 1.7.3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 1.7.3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$λ = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 1.7.3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$λ = \pm 0$

Étape 1.7.3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$λ = 0$

Étape 1.7.4

Définissez $λ - 7$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

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Étape 1.7.4.1

Définissez $λ - 7$ égal à $0$ .

$λ - 7 = 0$

Étape 1.7.4.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$λ = 7$

Étape 1.7.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- λ^{2} (λ - 7) = 0$ vraie.

$λ = 0, 7$

Étape 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Étape 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 0$ .

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Étape 3.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $0$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 3.2.1.2.1

Multipliez $0$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.2

Multipliez $0$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.3

Multipliez $0$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.4

Multipliez $0$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.5

Multipliez $0$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.6

Multipliez $0$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.7

Multipliez $0$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.8

Multipliez $0$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.9

Multipliez $0$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

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Étape 3.2.2.1

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} - 5 + 0 & 50 + 0 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 11 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2

Simplify each element.

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Étape 3.2.2.2.1

Additionnez $- 5$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 + 0 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 11 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.2

Additionnez $50$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 11 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 + 0 & 11 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.4

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.5

Additionnez $11$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.7

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.8

Additionnez $1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.9

Additionnez $1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Étape 3.3

Find the null space when $λ = 0$ .

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Étape 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot 50 & - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot 0 \\ - 1 & 11 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 10 & 0 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 10 & 0 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 11 - 10 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 10 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Étape 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 10 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 1 - 1 & 0 - 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.3.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 10 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 10 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Étape 3.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 10 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 10 \cdot 0 & - 10 + 10 \cdot 1 & 0 + 10 \cdot 1 & 0 + 10 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.4.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + 10 z = 0$

$y + z = 0$

$0 = 0$

Étape 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 10 z \\ - z \\ z \end{array}]$

Étape 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - 10 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]$

Étape 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - 10 \\ - 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Étape 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 10 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]}$

Étape 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 7$ .

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Étape 4.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] - 7 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $- 7$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.2.1.2.1

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez $- 7$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.3

Multipliez $- 7$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.4

Multipliez $- 7$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.5

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.6

Multipliez $- 7$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.7

Multipliez $- 7$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.8

Multipliez $- 7$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.9

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 \end{array}]$

Étape 4.2.2

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} - 5 - 7 & 50 + 0 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 11 - 7 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - 7 \end{array}]$

Étape 4.2.3

Simplify each element.

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Étape 4.2.3.1

Soustrayez $7$ de $- 5$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & 50 + 0 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 11 - 7 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - 7 \end{array}]$

Étape 4.2.3.2

Additionnez $50$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & 50 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 11 - 7 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - 7 \end{array}]$

Étape 4.2.3.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & 50 & 0 \\ - 1 + 0 & 11 - 7 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - 7 \end{array}]$

Étape 4.2.3.4

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 - 7 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - 7 \end{array}]$

Étape 4.2.3.5

Soustrayez $7$ de $11$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & 50 & 0 \\ - 1 & 4 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - 7 \end{array}]$

Étape 4.2.3.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & 50 & 0 \\ - 1 & 4 & 1 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - 7 \end{array}]$

Étape 4.2.3.7

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & 50 & 0 \\ - 1 & 4 & 1 \\ 0 & 1 + 0 & 1 - 7 \end{array}]$

Étape 4.2.3.8

Additionnez $1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & 50 & 0 \\ - 1 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - 7 \end{array}]$

Étape 4.2.3.9

Soustrayez $7$ de $1$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & 50 & 0 \\ - 1 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & - 6 \end{array}]$

Étape 4.3

Find the null space when $λ = 7$ .

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Étape 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & 50 & 0 & 0 \\ - 1 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{12}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{12}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{12} \cdot - 12 & - \frac{1}{12} \cdot 50 & - \frac{1}{12} \cdot 0 & - \frac{1}{12} \cdot 0 \\ - 1 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{25}{6} & 0 & 0 \\ - 1 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{25}{6} & 0 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 4 - \frac{25}{6} & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{25}{6} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{1}{6} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 6$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Étape 4.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 6$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{25}{6} & 0 & 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 (- \frac{1}{6}) & - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.3.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{25}{6} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Étape 4.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{25}{6} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & - 6 + 6 & 0 - 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.4.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{25}{6} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{25}{6} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Étape 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{25}{6} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{25}{6} \cdot 0 & - \frac{25}{6} + \frac{25}{6} \cdot 1 & 0 + \frac{25}{6} \cdot - 6 & 0 + \frac{25}{6} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.5.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 25 & 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - 25 z = 0$

$y - 6 z = 0$

$0 = 0$

Étape 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 25 z \\ 6 z \\ z \end{array}]$

Étape 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 25 \\ 6 \\ 1 \end{array}]$

Étape 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 25 \\ 6 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Étape 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 25 \\ 6 \\ 1 \end{array}]}$

Étape 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - 10 \\ - 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 25 \\ 6 \\ 1 \end{array}]}$